Самостійна робота.

Варіант 1

Відрізок довжиною 25 см опирається кінцями на дві взаємно перпен­дикулярні площини. Відстані від кінців відрізка до площини дорівню­ють 15 і 16 см. Знайдіть проекції відрізка на кожну площину.

Варіант 2

Відрізок довжиною 25 см опирається кінцями на дві взаємно перпен­дикулярні площини. Проекції відрізка на ці площини дорівнюють і 20 см. Знайдіть відстані від кінців відрізка до даних площин.

Варіант З

Кінці відрізка лежать у двох взаємно перпендикулярних площинах. Проекції відрізка на кожну із площин дорівнюють і 20 см відпо­відно. Відстань між основами перпендикулярів, проведених із кінців від­різка до площин, дорівнює 12 см. Знайдіть довжину даного відрізка.

Варіант 4

Із кінців відрізка, що лежать у двох взаємно перпендикулярних пло­щинах, проведено перпендикуляри до цих площин, довжини яких від­повідно дорівнюють 16 і 15 см. Відстань між основами цих перпендику­лярів дорівнює 12 см. Знайдіть довжину даного відрізка.

Тест

Перпендикуляр і похила. Перпендикулярність площин

Мета даного тесту — перевірити, чи вміє учень:

— зображати та знаходити на малюнку перпендикуляр і похилу; перпендикулярні площини;

— розв'язувати задачі, використовувати теорему про три перпенди­куляри та ознаку перпендикулярності площин;

— визначати відстань від точки до площини; від точки до прямої тощо.

Варіант 1

І рівень

1. До площини а проведено перпендикуляр АВ і похилу АС (рис. 235). Знайти довжи­ну проекції похилої, якщо АС = 10 см, АВ = 8 см. (1 бал)

а) 8 см; б) 10 см; в) 6 см; г) 2 см.

2. Знайдіть відстань від вершини А, куба ABCDA1B1C1D1 до площини ВСС1, якщо ребро куба дорівнює 5 см (рис. 236). (1 бал)

а) 5 см; б) 10 см; в) 5 см; г) визначити неможливо.

3. Через точку перетину діагоналей квадрата ABCD проведено перпен­дикуляр SO до площини квадрата і OF CD (рис. 237). Яка з вка­заних прямих перпендикулярна до прямої СD? (1 бал)

a) SC; б) SD; в) BD; г) SF.



II рівень

1. З точки М до площини α проведені перпендикуляр МО і похилі МА і MB (рис. 238). МО = 5 см, МА = см, MB = 13 см. (1 бал) Знайдіть відношення проекцій похилих.

а) 1:1; б)1:2; в) 1:3; г) :13.

2. З вершини А прямокутного рівнобедреного трикутника АВС (<C = 90°) проведено перпендикуляр SA до площини трикутника АВС (рис. 239). AC = см, SA = см. Знайдіть площу трикутника SBC. (1 бал)

а) 1 см2; б) см2; в) 2 см2; г) 2 см2.

3. Точка А знаходиться на відстані 6 і 8 см від двох перпендикулярних площин (рис. 240). Знайдіть відстань від цієї точки до лінії пе­ретину площин. (1 бал)

а) 6 см; б) 8 см; в) 10 см; г) 14 см.

ІІІ рівень

1. Точка S віддалена від вершин квадрата зі стороною см на 2 см. Чому дорівнює відстань від точки S до площини квадрата? (2 бали)

а) 1 см; б) см; в) см; г) см.

2. Точка S віддалена від усіх сторін правильного трикутника на см, а від площини трикутника — на 3 см. Чому дорівнює сторона три­кутника? (2 бали)

а) см; б) 3 см; в) см; г) 6 см.

3. Точка М рівновіддалена від сторін ромба ABCD. Які з наведених тверджень правильні? (2 бали)

а) Площина АМС перпендикулярна до площини BMD;

б) площина AМC перпендикулярна до площини АВС;

в) площина АВМ перпендикулярна до площини ADC;

г) площина BMD перпендикулярна до площини АВС:

IV рівень

1. Кожне ребро тетраедра дорівнює а. Знайдіть відстань від його вер­шини до протилежної грані. (3 бали)

a) a; б) а; в) а; г) а.

2. Знайдіть відстань між мимобіжними діагоналями двох сусідніх гра­ней куба, ребро якого дорівнює а. (3 бали)


а) а; б)а; в) ; г) .

3. Які з вказаних фігур можна одержати як ортогональну проекцію тетраедра, кожне ребро якого дорівнює а? (3 бали)

а) Квадрат; б) трапецію; в) трикутник; г) правильний шестикутник.

Варіант 2

І рівень

1. До площини а проведено перпендикуляр АВ і похилу АС (рис. 241). Знайдіть довжину похилої, якщо АВ = см, ВС = 1 см. (1 бал)

а) см; б) 1 см; в) 2 см; г) 3 см.

2. Знайдіть відстань від вершини А, куба ABCDA1В1C1D1 до прямої АС, якщо ребро куба дорівнює 2 см (рис. 242). (1 бал)

а) 1 см; б) 2 см; в) 3 см; г) визначити неможливо.



3. До площини правильного трикутника АВС проведено перпендику­ляр SA, АК ВС (рис. 243). Яка з вказаних прямих перпендикулярна до прямої ВС? (1 бал)

a) SC; б) SB; в) АВ; г) SK.


II рівень

1. З точки М до площини а проведені перпендикуляр МО і похилі МА і MB (рис. 244), МО = 1 см, ОА = см, ВО = 2 см. Знайдіть відношення довжин похилих. (1 бал)

а) 3 : 8; б) 2 : 3; в) : ; г) 1 : 1.

2. З вершини А квадрата ABCD проведено перпендикуляр SA до площи­ни АВС (рис. 245), AS = cm, SB = 2 см. Знайдіть площу трикут­ника SBC. (1 бал)

а) 1 см2; б) см2; в) 2 см2; г) 2 см2.

3. Точка А знаходиться на однаковій відстані від двох перпендикуляр­них площин і на відстані 2 см до лінії перетину площин (рис. 246). Знайдіть відстань від точки А до даних площин. (1 бал)

а) 1 см; б) см; в) 2 см; г) визначити неможливо.


III рівень

1. Точка S віддалена від вершин правильного трикутника зі стороною см на відстань см. Чому дорівнює відстань від точки S до площини трикутника? (2 бали)

а) 1 см; б) см; в) 2 см; г) см.

2. Точка S віддалена від усіх сторін правильного чотирикутника на см, а від площини чотирикутника — на 2 см. Чому дорівнює периметр чотирикутника? (2 бали)

а) 1 см; б) 2 см; в) 4 см; г) 8 см.

3. Точка М рівновіддалена від вершин прямокутного рівнобедреного трикутника АВС (АВ = АС), К — середина ВС. Які з наведених тверджень правильні? (2 бали)

а) Площина АМК перпендикулярна до площини АВС;

б) площина ВМС перпендикулярна до площини АВМ;

в) площина ВМС перпендикулярна до площини АВС;

г) площина АВМ перпендикулярна до площини АСМ.

IV рівень

1. Три ребра тетраедра SA, SB, SC взаємно перпендикулярні і дорівню­ють а. Знайдіть відстань від вершини S до площини АВС. (3 бали)

а) а; б) ; в) ; г) .

2. Знайдіть відстань між діагоналлю куба і мимобіжною з нею діаго­наллю грані куба, якщо ребро куба дорівнює а. (3 бали)

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Які з вказаних фігур можна одержати як ортогональну проекцію куба? (3 бали)

а) Квадрат; б) прямокутник, відмінний від квадрата;

в) п'ятикутник; г) шестикутник.

Поняття перпендикулярних площин

Дві площини, що перетинаються, нази­ваються перпендикулярними, якщо тре­тя площина, проведена перпендикуляр­но до лінії перетину цих площин, пере­тинає їх по перпендикулярних прямих. На рис. 216 α β, бо площини α і β пере­тинаються по прямій с, площина γ, перпенди­кулярна до с, перетинає α і β по прямих а і b, які перпендикулярні.

Означення перпендикулярності площин не залежить від вибору площини γ. Дійсно, візь­мемо іншу площину γ1, перпендикулярну до прямої с (рис. 217).

Оскільки с γ та прямі a і b лежать у пло­щині γ і перетинаються в точці А, то с а, с b (за означенням перпендикулярності пря­мої і площини).

Аналогічно с а1, с b1. Крім того, а і а1b, b і b1 лежать відповідно в площинах α і β. Отже, а || а1 і b || b1. Оскільки а b , а || a1 і b || b1, то а1 b1 (теорема 3.1).

Розв'язування задач

1. Наведіть приклади моделей перпендику­лярних площин із оточення.

2. Покажіть на моделі прямокутного паралеле­піпеда перпендикулярні грані (площини).

3. Дано зображення куба ABCDA1B1C1D1. Ука­жіть площини, які перпендикулярні до пло­щини:

а) АВС; б) ADC1; в) АСС1.

4. На двох перпендикулярних площинах вибрали по прямій. Чи може статися, що ці прямі:

а) паралельні; б) перетинаються; в) мимобіжні?

Відповідь проілюструйте прикладами з оточення.

Розв'язування задач,

1. Як на практиці встановити, чи перпендикулярна площина стіни до площини підлоги?

2. ABCD — квадрат, MD(АВС) (рис. 219). Доведіть, що:

а) (MAD) (MCD); б) (MBC) (MCD).

3. У трикутнику АВС <C = 90°; PB (ABC) (рис. 220). Доведіть, що (РАС) (РВС).

4. Чи правильні твердження:

а) через точку, взяту поза площиною, можна провести площину, перпен­дикулярну до цієї площини, і притому тільки одну;

б) якщо площина перпендикулярна до даної площини, то вона перпендикуля­рна і до довільної прямої, паралельної цій площині?

Задача.

Якщо дві площини, що перетинаються, перпендикулярні до тре­тьої площини, то пряма їх перетину перпендикулярна до тієї ж пло­щини.

Розв'язання

Нехай α γ, β γ, АВ — пряма перетину α і β . Доведемо, що АВ γ (рис. 222). Припустимо, що АВ не перпендикулярна до пло­щини γ. Опустимо з точки А в площинах α і β перпендикуляри до прямих а і b — прямих перетину площин α і β з площиною γ відпо­відно: AMа , ANb. Тоді AMγ , ANγ (із задачі № 58). Отже, з точки А, яка лежить поза площиною γ, проведено дві різні прямі AM і AN, перпендикулярні до площини γ, що неможливо. Таким чи­ном припущення неправильне, отже, АВγ .

Запитання до класу

1) Як розташована пряма, яка лежить в одній із двох перпендикулярних площин і перпендикулярна до лінії перетину цих площин, відносно другої площини?

2) Як розташована лінія перетину двох площин, які перпендикулярні, віднос­но третьої площини, що перетинає їх по перпендикулярних прямих?

3) ABCD — квадрат, SA (АВС) (рис. 223).

Запишіть площини, які перпендикулярні:

а) до площини SAB;

б) до площини SAD;

в) до площини SBC;

г) до площини АВС;

д) до площин SAB і АВС.

Кiлькiсть переглядiв: 127

Коментарi

Новини

Календар

Попередня Серпень 2018 Наступна
ПВСЧПСН
 12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
2728293031