Лінійна функція та її графік
1. Означення. Функція, яку можна задати формулюю у = kx + b, дekibчисла, — лінійна функція.
Приклад: у = 2х + 2 (k= 3; b= 2) у = 2х – 3 (k= 2; b= -3)
у=-х+5 (k= -1; b = 5)у = х(k= ; b= 0) у = 3 (k = 0; b = 3)
2. Властивості лінійної функції
1) Область визначення — будь-яке число. 2) Область значень — будь-яке число.
3. Графік функції — пряма. Щоб побудувати графік, шукаємо координати будь-яких двох його точок.
Приклад. Побудувати графік функції у = х – 1 — лінійна, отже, графіком є пряма
х 0 2 у = х – 1
у -1 1
4. Властивості графіка лінійної функції
1) Якщо k> 0, то графік утворює з додатною піввіссю Ох гострий кут. 2) Якщо k< 0, то графік утворює з додатною піввіссю Ох тупий. k — кутовий коефіцієнт.
3) Число bпоказує ординату точки перетину графіка з віссю Оу

Виконання усних вправ

1. Які функції є лінійними? Для лінійних функцій назвати kі b.

1) у = х + 5; 2) у = -3х; 3) ;4) у = 8; 5) ; 6) у = 0;

7) у = 3 – 7x; 8) у = x2+ 4.

2. Під яким кутом перетинає вісь Ох графік функції: 1) у = -3х + 1; 2) у = 2х - 4?

В якій точці він перетинає вісь Оу?

Виконання письмових вправ

1. Лілійну функцію задано формулою у = 2х – 6. Знайдіть: 1) значення функції, що відповідає значенню аргументу -6; 0; 9; 2) при якому зна­ченні аргументу значення функції дорівнює -3; 0; 7?

Результати обчислень запишіть у таблицю:

х
у

2. Побудуйте графік функції за даною формулою: 1) у = х – 2;2) у = -2х + 0,5; 3) у = 2х – 1.

Перевірте, чи відповідають ваті побудови властивостям графіка, які випливають із значень kта b.

3. Чи проходить графік функції у = 1,8х + 9 через точку: А(10; 27),

В(50; 89), С(-20; -27)?

4. Побудуйте графік функції у = -1,5х + 1.Користуючись графіком, знайдіть:

1) значення у при х = -4; х = 0; х = 2;

2) значення х, при якому у = -1; у = 4;

3) усі значення х, при яких у > 1, у < 4;

4) усі значення у, які відповідають значенням х >0.

Залежність між розташуванням прямої у = kx+ bта значеннями kі b
1)k=0 у = b 2)b=0 y = kx 3)y= kx+ b(k≠ 0; b≠ 0)

Виконання усних вправ

1. Опишіть, що являє собою графік функції, яку задано формулою:

1) у = 25х; 2) у= -70; 3) у = -0,01х; 4) у = 0.

2. Знайдіть координати точки перетину з віссю Оу графіка лінійної функції:

1) у = 15х – 2;2) у = -20х; 3) у = 16.

3. Графік лінійної функції — пряма, що паралельна осі Ох. Задайте цю функцію формулою, якщо відомо, що її графік проходить через точку:

1) А(1; -4); 2) В(-5; 5); 3) C(0; 3,5).

Виконання письмових вправ

1. Знайдіть точку перетину графіка функції у = -4х + 6 з осями координат.

2. Графік функції у = kх проходить через точку А(-8; 4). Знайдіть k. Чи проходить графік цієї функції через точку В (2; -1); ?

3. В одній системі координат побудуйте графік функції:

1) у = 4; 2) у = 1,5; 3) у = -2; 4) у = -х – 2; 5) у = х + 4; 6) у = 2х.

4. Покажіть схематично, як розташований графік функції, заданої формулою:

1) у = 1,7х; 2) у = -3,1х + 2; 3) у = 2; 4) у = -2,3х;

5) у = kх + b, k>0, b<0;6)у = kх +b, k < 0,b > 0.

5. Логічна вправа.

у = х + 1
у = х – 1 ?

Який рисунок пропущено?

6. Знайдіть координати точок перетину графіків функцій: 1) у = 10х – 8; та у = -3х + 5; 2) у = 14 – 2,5х та у = 1,5х – 18;

3) у = 20х – 70 та у = 70х + 30; 4) у = 37х – 8 та у = 25х + 4;

5) у = 14х та у = х + 26; 6) у = -5х + 16 та у = -6.

Тести з алгебри для 7 класу, 2015

Укладач: Т.В.Петрова, вчитель Нижньосірогозької ЗОШ І-ІІІ ступенів, вища категорія, звання «старший вчитель»

Основною метою створення даного посібника є:

— допомога учневі в орієнтації у тестових завданнях.

Крім того, посібник може використовуватися школярами для самостійної підготовки до роботи з тестовими завданнями, самоперевірки своїх знань та вмінь.

Тема. Цілі вирази (Цілі раціональні вирази. Тотожність. Степінь з натуральним показником. Властивості степеня з натуральним показником).

1. Який з наведених виразів є цілим?

А) ; Б)-х5у2; В)8 - ; Г)3,8х6у9z.

2. Спростіть вираз: (-a)4×a3×(-a)9:(a2)7

А)-а2; Б) а7; В)а2; Г)-а9.

3. Знайти значення виразу:

А) -1; Б) 1; В) 3; Г) -3.

4. Розв‘язати рівняння: ×(х5)3=517

А) -5 і 5; Б) -5; В) 5; Г) не має коренів.

5. Установіть відповідність між виразами і тотожно рівними їм виразами

1 ((х4)5)3 А) -0,027а3b3c3
2 (-0,3abc) Б) х16
3 -0,3a3×2b2c2×bc В) х60
4 (-х)9×х3×(-х) 4 Г) х16
5 Д) х23

6. Установи відповідальність між виразами та їх значеннями

1 А) 18
2 0,2×(-5)2 - 36×()2 Б)
3 В) 224
4 Г) 1
5 Д) 9

Тема. Цілі вирази (Одночлен. Стандартний вигляд одночлена. Піднесення одночленів до степеня. Множення одночленів. Многочлен. Подібні члени многочлена та їх зведення. Степінь многочлена Додавання, віднімання і множення многочленів).

1. Який з поданих одночленів записано в стандартному вигляді:

А) 0,7×х3×х×у2; Б) 75х6×х7; В) -4х5×3с2; Г) -12mn8.

2. Який з наведених виразів не є многочленом?

А) 12; Б) -0,7х4×у5; В) (х+у2):(b+x); Г) 15ab6 – 8a5b.

3. Визнач степінь одночлена -1,125аbc4

A) 6; Б) 2; В) 3; Г) 8.

4. Який з наведених многочленів записано в стандартному вигляді?

А) 12ху7 – 5ху7; Б) 16ху+23ху3 – 2х3у4;

В) 11х3у3 - 8 х3у3 + 10; Г) 77хух6 - 22х7у +2.

5. Установіть відповідність між виразами та тотожно рівними їм виразами:

1 7а3 – 2а3 – 15а3 А) 2а6 + 2а5 + а2 + 7
2 2а2 – 3а – а2 – 5 + 2а – а2 +10 Б) 0
3 5а6 – 3а2 + 7 + 2а5 – 3а6 + 4а2 В) -2n2 – 6n – 4
4 1 – n+n2 – (3п2 – 2п + 5) – 7п Г) 2а6 + 2а5 + а2 + 7
Д) 12а

6. Установіть відповідність між рівняннями та їх розв‘язками

1 4x – 5 – (7x + 8) = 2 А) 12
2 х2 – 8x + 9 = х2 + 5х – 4 Б) -5
3 24 – (х2+ 8x – 17) = 5 – 5x – x2 В) 3
4 19 – (3х2 – 2х) – (6х – х2) = 7 – 2х2 Г) 1
Д) 10

Тема. Цілі вирази. Формули квадрата двочлена, різниці квадратів, суми і різниці кубів.

1. Подайте вираз (х+3)(х-2) у вигляді многочлена:

А) х2-6; Б) х2-х-6; В) х2+х-6; Г) х2+х+6.

2. Виконайте дії: (5 + 6х)(6х – 5).

А) 25 – 36х2; Б) 36х2 + 25; В) 36х2 – 60х + 25; Г) 36х2 – 25.

3. Подай у вигляді многочлена (-0,2B + 2a3)2

А) 0,4b2 – 0,8a3,+4a6; Б) 0,04b2+0,8a3b – 4a6;

B) -0,04b2 – 0,8a3b + 4a6; Г) 0,04b2 – 0,8a3b + 4a6.

4. Розклади на множники х3-2х2у + ху2

А) х(х-у)2; Б) х(х + у)2; В) (х-у)2; Г) (х + у)2

5. Установіть відповідність між виразами і тотожно рівними їм виразами

1 (а +b)2 А) 4+20х+25х2
2 (3а – 2b)2 Б) 25х2+4
3 т(т – 3) – (т – 5)2 В) a2 + 2ab+ b2
4 (5х+2)2 Г) 9а2 – 12аb + 4b2
5 Д) 7т – 25

6. Установи відповідність між рівняннями та їх розв‘язками

1 (х-3)(х+4)=0 А) 0
2 у2 – 4у + 4 = 0 Б) 4,5
3 (4х-3)(4х+3) – 16х2 + 2х =0 В) -4 і 3
4 х(х – 2)(х + 1) = х2(х – 1) Г) 2
5 Д) 4

Тема. Розкладання на множники.

1. В якому випадку вказано правильне розкладання многочлена 25х2 – 25у2 на множники:

А) 25(х2 – у2); Б) (5х – 5у)(5х + 5у); В) 25(х – у)(х + у);Г) 25(х – у)2

2. Розкладіть на множники способом групування

3тп + 24п – 9т – -72.

А) 3(n-3)(m+8); Б) 3(n+3)(m-8);

B) 3(m+8)(m-8); Г)3mn(1+8n-9m----24).

3. Обчисли значення виразу 62×11,3 + 18×11,3+24×3,7 + 56×3,7 найзручнішим способом

А) 120; Б) 1200; В) 12000; Г) 2400.

4. Розклади на множники 2х2 – 50

А) (х-10)(х+10); Б) 2(х-5)(х+5); В) 2х(х-25); Г) 10(х-5).

5. Установи відповідність між даними виразами та виразами, які отримали в результаті розкладання їх на множники

1 -п2 – 8п – 16 А) 4(т – 2с)(т2 + 2ст + 4с2)
2 4т3 – 32с3 Б) (х-3)(х+7)
3 х2 – 2ху + у2 – т2 В) –(n+4)2
4 х2 – 4х -21 Г) (х – у – т)(х – у + т)
5 Д) (x-21)(x+4)

6. Установи відповідність між рівняннями та їх коренями

1 х(х-3)=2х-6 А) коренів немає
2 х2-4х+3=0 Б) 2;3
3 2,5х2-х=0 В) 1;3
4 х6+х4+2х2+2=0 Г) 0; 2,5
Д)0; 0,4

Тема. Функції.

1. Серед заданих функцій виберіть ту, яка не являється лінійною:

А) ; Б) у = 6(х – 1); В) у = – 0,3х + 0,7;

Г) всі функції - лінійні.

2. Через яку з точок проходить графік функції у = – х + 6?

А) А(1; 6); Б) В( – 6; – 8); В) С(6; 0); Г) D(– 3;5).

3. Точка А (2,5; 0,1) належить графіку функції у = kx. Знайдіть чому дорівнює значення k для цієї функції.

А) 2; Б) 0,04; В) 4; Г) 25.

4. Графіку якої лінійної функції відповідає таблиця?

х - 0,5 2
у - 3,5 - 6

А) у = 2х – 3; Б) у = – 4 – х;

В) у = 6х – 1; Г) у = 5 – 0,1х.

5. Установи відповідність між функціями та їх графіками

1. у=2х; 2. у=2х-3; 3. у=х+2; 4. у=-0,5х+2.

А) Б) В) Г)

6. Установи відповідність між функціями, заданими формулами та їх областю визначення:

1 А) х≠4, х≠-4
2 у=х2+2х-3 Б) х≠ 5
3 В) всі числа
4 Г) х≠0; х≠-4
Д) х≠ -5; х≠8.

Тема. Лінійні рівняння.

1. Розв’язком якого лінійного рівняння є число 8?

А) 3х –2 = 6 – х; Б) 3,5 + х = 7;

В) 0,1х + 0,2 = 1; Г) -2,5х = 0.

2. Які рівняння є рівносильними ?

А) 2х – 7 = 3 і 2х = - 4; Б) = 3 і 3х = ;

В) 3(х – 2 ) = - 6 і 3х – 6 = - 6; Г) - 0,1х + 0,1х = 0 і 0,2х = 0.

3. Яке з рівнянь має безліч розв’язків?

А) 0х = 5; Б) 0х = 0; В) 5х = 0; Г) 2х = 3.

4. Скільки коренів має рівняння 2х – 3,5 = 1,5(1 + х) ? А) два; Б) один; В) жодного; Г) безліч.

5. Установи відповідність між даними рівняннями та рівносильними їм рівняннями

1 х2=25 А) 2х+3=1+2(х-4)
2 Б) -4х=0,8
3 3(х-7) – (9-2х)=0 В)
4 Г) –х-5х=-36
5 Д) х=25

6. Установи відповідність між рівняннями та їхніми коренями

1 5(7-2х)-4(3-5х)=53 А)0; 1
2 4,1(2-3х)=12-(12,3х+3,8) Б) безліч коренів
3 В) 3
4 Г)
Д)-3

Тема. Системи лінійних рівнянь.

1. Які з пар чисел є розв’язком системи рівнянь:

3х – у = 0;

5х – у = – 4 ?

А) (–3;4); Б) (–2; –6); В) (–4;3); Г) (0; –5).

2. Знайдіть координати точки перетину графіків рівнянь

у – 2х= 4 та 7х – у = 1:

А) (6;1); Б) (1;6); В) (-6;-1); Г) інша відповідь

3. Сума двох чисел дорівнює 13, а їх різниця 2. Знайти ці числа.

А) 7,5; 5,5; Б)7; 5; В)13; 6,5; Г)інша відповідь.

4. Знайдіть розв’язок системи 3(х – 5) – 1= – 2у,

3(х – у) – 7у = – 4:

А) (– 3; ); Б) ( 5; 2); В) ( 2; 5); Г) інша відповідь.

5. Знайди відповідність між графіками рівнянь та координатами точок їх перетину

1 5х+у=17 і 3у-4х=32 А(2;1)
2 4х-у=29 і 7х+2у=2 Б(1;12)
3 2х-у=5 і х-у=1 В(4;-13)
4 х-2у=4 і 3х-у=-1 Г(1;5)
Д(4;3)

6. Знайти відповідність між системами рівнянь та їх графіками

1 А)
2 Б)
3 В)
4 Г)
Д)

Тестові (підсумкові) завдання

1. Спростіть вираз .

А) Б) В) Г)

2. При якому значенні змінної вираз не має змісту?

А) 10; Б) -10; В) -2; Г) 2.

3. 3. Спростіть вираз .

А) ; Б) 49; В) 14; Г) .

4. На якому з малюнків зображено графік рівняння .

А) Б) В) Г)

5. Установіть відповідність між даними виразами та їх тотожно рівними виразами

1 (х+4)2-4х А) –х-4
2 (х-2)(х+2)-х(х+1) Б) –х2+8х
3 16-(х-4)2 В) х2+4х+16
4 (х-1)2 Г) х2-2х+1
Д) х2+1

6. Установіть відповідність між функцією та її графіком

1 у = А)
2 Б)
3 у=2 В)
4 у=0,6х+3 Г)
Д)
Лінійне рівняння з однією змінною

Поняття лінійного рівняння з однією змінною є принципово новим для учнів (новим є і сам підхід до класифікації не за дією, що зв'язує компоненти рівняння, а за способом розв'язання). Хоча фактично всі рівняння, що їх розв'язували учні в молодших кла­сах, є рівняння, що зводяться до лінійних, однак відповідна термінологія вводиться вперше. Під час дослідження питання про кількість розв'язків лінійного рівняння ах = bпри різних а і bвиділяємо три випадки:

1)а ≠ 0 і bбудь-яке;

2) а = 0; b ≠ 0;

3)а=0; b= 0.

4. а) 5(2х – 1) = 4х – 23; б) 3х – 4 = 3(х – 2); в) 3х – 2(х – 1) = х + 2.
Шляхом рівносильних перетворень зводимо рівняння до виду ах = b, а далі за схемою:
10х – 5 = 4х – 23; 3х – 4 = 3(х – 2); 3х – 2х + 2 = х + 2;
10х – 4х = -23 + 5; 3х – 4 = 3х – 6; х + 2 = х + 2;
6х=-18 3х – 3х = -6 + 4; х–х= 2 – 2;
х = -18 : 6 0х = -2. 0х = 0.
Відповідь. -3Відповідь. Коренів немає Відповідь. х — будь-яке
число

Виконання письмових вправ

Розв'яжіть рівняння:

1. 1) -4х = 28; 2) 0,7х = -4,2; 3) х = -; 4) 3х = 7; 5) -2х = ; 6) 18х = 0,9.

2. 1) 7х + 3 = 30 – 2х; 2) 0,2х + 2,7 = 1,4 – 1,1х; 3) х + 15 = х + 10.

3. 1) (7х + 1) – (9х + 3) = 5; 2) 3,4 + 2у = 7(у– 2,3);3) 0,2(7 – 2у) = 2,3 – 0,3(y– 6); 4) .

4. 1) 3х + 6 = 2(2х – 7) – х; 2) 6,2(3 – 2х) = 20 – (12,4х + 1,4).

Розв'язання багатьох рів­нянь, що мають одну змінну, зводиться до розв'язування лінійних рівнянь з однією змінною. Серед таких рівнянь можна виділити:

а) рівняння з модулем;

б) рівняння, що містять дроби.

а) .

. (Спрощуємо ви­раз під знаком модуля.) .

1) 2x– 3 = 3 або 2) 2x– 3 = -3. (Оскільки 3 > 0, | x| = а, а > 0,

то x = а або x = -а. Розв'язуємо лінійні рівняння.)

2х = 6, 2х = 0.

х = 3, х = 0.

Відповідь. 3; 0

б) .

.

(Знайдемо НСК (18; 12; 9) = 36 та помножимо на нього обидві час­тини рівняння.)

.

(Виконаємо множення.)

2(2х – 1) = 3х + 4х; 4х – 2 = 3х + 4.

(Виконаємо рівносильні перетворення, зведемо рівняння до лінійного і розв'я­жемо його.)

4х – 3х = 4 + 2, х = 6

Відповідь. 6

Завдання для самостійного опрацювання

№ 1. Розв'яжіть рівняння:

1) |2х - 3| = 5; 2) |2х – 1| + 7 = 8; 3) |5х – 4(2х + 3) | = 6;

4)* (випереджальне домашнє завдання) 2(|x| - 3) – 4(2|х| + 9) = -48;

5) ; 6) .

№ 2. При якому значенні а рівняння ах=42:

1) має корінь -7; 2) коренів не має; 3) має безліч коренів?

Тематична контрольна робота

Варіант 1 Варіант 2
№ 1. Чи рівносильні рівняння? Чому? 3х+ 4 = 7 та 2(х+ 3) – 5 = x + 2. № 1. Чи рівносильні рівняння? Чому? х – 7 + 2 = 3х та х – 7 = 3(х – 1) + 1.
№ 2. Розв'яжіть рівняння 0,2(7 – 2y) = 2,3 – 0,3(y – 6). № 2. Розв'яжіть рівняння 0,4(2x – 7) + 1,2(3x + 0,7) = 1,6x.
№ 3. Розв'яжіть задачу, склавши рівняння. Перший автомобіль долає шлях між містами за 5 год. Другий автомобіль, швидкість якого на 20 км/год більша, ніж першого, долає той самий шлях за 4 год. Знайдіть швидкість автомо-білів. № 3. Розв'яжіть задачу, склавши рівняння. Перший автомобіль долає шлях між дво­ма містами за 1,5 і од, а другий — за 1,2 год. Швидкість другого авто-мобіля більша від швидкості першого на 15 км/юд Знайдіть відстань між милами.
№ 4. Розв'яжіть рівняння . № 4. Розв'яжіть рівняння .
№ 5. Розв'яжіть задачу. У книжковій шафі було в 6 разів більше книжок, ніж на етажерці. Після того як із шафи взяли 46 кни­жок, а з етажерки 18, на етажерці за­лишилося на 97 книжок менше, ніж у шафі. Скільки книг було в шафі, а скільки на етажерці спочатку? № 5. Розв'яжіть задачу. В автопарку було вантажівок у 5 разів більше, ніж легкових автомо-білів. Після того як у рейс вийшло 58 вантажівок і 15 легкових авто, в автопарку залиши­лось вантажівок на 61 більше, ніж легко­вих авто. Скільки легкових авто і скільки вантажівок було в автопарку спочатку?
№ 6. Розв'яжіть рівняння 5 |4 + 2(х – 3)| = 1. № 6. Розв'яжіть рівняння 2(|х| – 3) = 4|х| – 10.
№ 7*. При якому значенні а рівняння (2 + а)х = 10: 1) має корінь 5; 2) не має коренів? № 7*. При якому значенні а рівняння (а – 3)х = 8: 1) має корінь 4; 2) не має коренів?
Кiлькiсть переглядiв: 80

Коментарi