Види тригонометричних рівнянь та способи їх розв’язування

Найпростіші тригонометричні рівняння

Як правило, розв’язування тригонометричного рівняння зводиться до розв’язування рівнянь виду sin t = a, cos t = a, tg t = a, ctg t = a, які називають найпростішими. Способи розв’язування таких рівнянь детально вивчаються в курсі алгебри та початків аналізу 10-го класу.

Зупинимось на більш складних видах тригонометричних рівнянь.

Розв’язування тригонометричних рівнянь

способом розкладанням на множники

Багато тригонометричних рівнянь, права частина яких дорівнює 0, розв’язуються розкладанням їхньої лівої частини на множники. Під час розв’язування тригонометричних рівнянь цим способом усі члени рівняння переносять у ліву частину і подають утворений вираз у вигляді добутку. Далі використовують необхідну і достатню умови рівності нулю добутку тригонометричних виразів: добуток двох або кількох співмножників дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли принаймні один зі співмножників дорівнює нулю, а інші при цьому не втрачають змісту. Розглянемо цей спосіб.

Приклад. Розв’яжіть рівняння.

Розв’язання. Згрупуємо доданки у лівій частині рівняння:

.

Враховуючи умову рівності нулю, маємо:

або .

Кожне з цих рівнянь легко звести до найпростішого:

Подпись: sin⁡х=-1 х=-π/2+2πk,k∈Z Подпись: 2 cos⁡2х=1 cos⁡2х=1/2 2х=±π/3+2πn,n∈Z х=±π/6+πn,n∈Z

Відповідь: ;

.

Розв’язування тригонометричних рівнянь,

що зводяться до квадратних

У курсі алгебри 8-го класу було вивчено способи розв’язування квадратних рівнянь, які використовуються і при розв’язуванні окремих випадків тригонометричних рівнянь.

Приклад. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання. Дане рівняння є квадратним відносно . Нехай , де , тоді одержимо рівняння . Розв’язавши його, знайдемо ; . Значення не задовольняє умову , отже:

Відповідь:

Розв’язування однорідних рівнянь

Рівняння виду називається однорідним рівнянням n-го степеня відносно синуса і косинуса. Це такі рівняння, у яких ліва частина є многочленом, у кожному члені якого сума показників степенів синуса і косинуса одного і того самого аргументу однакова, а права – 0. однорідні рівняння n-го степеня відносно синуса і косинуса розв’язують діленням обох частин на . Проте попередньо слід довести, що .

Однорідне тригонометричне рівняння 1-го степеня -

це рівняння виду:, де a і b

Приклад. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання. Поділимо обидві частини рівняння на . Оскільки корені рівняння не є коренями вихідного рівняння, то . Маємо:

Відповідь:

Однорідне тригонометричне рівняння 2-го степеня -

це рівняння виду:, де a, b і c

Приклад. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання.

, тому що.

Відповідь:;

Однорідні тригонометричні рівняння n-го степеня

Розв’язування тригонометричних рівнянь виду

Тригонометричні рівняння можуть бути розв’язані за допомогою формул універсальної підстановки:

і

При цьому треба пам’ятати, що застосовуючи такі формули, ми звужуємо область допустимих значень рівняння, оскільки функція не існує при .

Приклад. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання. Розв’яжемо дане рівняння за допомогою формул універсальної підстановки:

Перевіримо, чи будуть числа виду , , коренями рівняння :

;

– неправильно.

Отже, числа виду не є коренями даного рівняння. Нехай . Тоді

Повернемось до початкової змінної:

Відповідь:;

Рівняння, що розв’язуються за допомогою заміни

Зустрічаються такі тригонометричні рівняння, в яких доцільною є заміна . Проте слід пам’ятати, що якщо , то , , тобто

Приклад. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання. ОДЗ:

Нехай

Відповідь:

Розв’язування тригонометричних дробово-раціональних рівнянь

Тригонометричні дробово-раціональні рівняння – це рівняння, що містять тригонометричні функції у знаменнику і зводяться до виду . Такі рівняння можуть містити, так звані, сторонні розв’язки. Сторонніх розв’язків позбуваються за допомогою врахування додаткових умов (знаменник дробу не може дорівнювати нулю).

Приклад. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання. Використавши умову, за якої дріб дорівнює 0, і те, що для будь-якого дійсного значення , маємо:

Відповідь:

Графічний спосіб

Приклад. Розв’яжіть рівняння.

Розв’язання. Запишемо дане рівняння у вигляді і введемо функції Побудувавши в одній системі координат графіки цих функцій, знайдемо розв’язки рівняння як абсциси точок перетину графіків.

Відповідь:

Тригонометричні рівняння, що містять ірраціональність

Це тригонометричні рівняння, що містять в собі тригонометричну функцію під знаком радикала будь-якого степеня. Розв’язки рівняння такого типу обов’язково повинні перевірятись на їх належність ОДЗ рівняння.

Приклад. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання. ОДЗ:

Застосуємо формулу

Відповідь:

Тригонометричні рівняння з параметрами

Рівняння з параметрами – це рівняння, до запису якого, крім змінної та числових коефіцієнтів входять також буквені коефіцієнти – параметри. Розв’язати тригонометричне рівняння з параметрами – значить для будь-якого припустимого значення параметра знайти множину всіх розв’язків даного рівняння. Таким чином розв’язання задач з параметром відрізняється від розв’язання аналогічної задачі без параметра, необхідністю дослідити всі можливі значення невідомого при всіх припустимих значеннях параметра.

Приклад. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання. Нехай ,

Відповідь:при

УРОК 32

Тема уроку: Тематична контрольна робота № 3.

Мета уроку: Перевірити знання, уміння і навички учнів з теми «Тригонометричні рівняння і нерівності».

Варіант 1

1. Розв'яжіть рівняння:

a) tg 3x = . (2 бали) б) 4sin2 х – 4cos х – 1 = 0. (2 бали)

в) cos 2х – cos х = cos 3х. (2 бали) г) = sin x. (2 бали)

2. Розв'яжіть нерівність:

2 sin – l. (2 бали)

3. Розв'язати систему рівнянь:

(2 бали)

Варіант 2

1. Розв'яжіть рівняння:

а) 1 + ctg 4x = 0. (2 бали) б) 4sin2 х + 4sin х – 3 = 0. (2 бали)

в) sin 2х = sin 6x – sin 4x. (2 бали) г) = sin x. (2 бали)

2. Розв'яжіть нерівність:

2 cos < . (2 бали)

3. Розв'яжіть систему рівнянь:

(2 бали)

Варіант 3

1. Розв'яжіть рівняння:

а) 2sin 3х + 1 = 0. (2 бали)б) 4cos2 x + 4sin x – 1 = 0. (2 бали)

в) 1 – cos 4x = sin 2х. (2 бали) г) . (2 бали)

2. Розв'яжіть нерівність:

tg – 0. (2 бали)

3. Розв'яжіть систему рівнянь:

(2 бали)

Варіант 4

1. Розв'яжіть рівняння:

а) 2 cos – 1 = 0 . (2 бали) б) tg2 x = 3tg x. (2 бали)

в) 1 + cos 4x = cos 2х. (2 бали)г) . (2 бали)

2. Розв'яжіть нерівність:

ctg. (2бaлu)

3. Розв'яжіть систему рівнянь:

(2 бали)

Кiлькiсть переглядiв: 32

Коментарi